2018年成都信息工程大学应用数学学院603线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
4．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为
的基础解系为：
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令
则有. 方阵
B 满足题意.
二、计算题
5． 设
D 的（i
, j ）元的代数余子式记作
求
【答案】
线性相关，
也线性相关，问
不一定线性相关.
向量组Ⅱ
:线性无关.
，则这两向量组均线性相关
，但
是否一定线性相关? 试举例说明之
.
6． 设
【答案】向量组
例如令向量组∣:向量组
7．
在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q
的城镇居民移居农村. 假设该国总人数不变，且上述人迁移的规律也不变
. 把n 年后农村人和城镇人占总人的比例依次记为和
（1）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等，【答案】（1）这是一个应用问题. 关系式