2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
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（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是
3维非零列向量，
若线性无关；
求
且
线性无关
.
非零可知，
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
3． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ）设
【答案】（Ⅰ）由
同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
时
此时方程组无解.
令
是A 的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故
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4．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5．
写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，
即
此行列式中含有
的项为
和
或
的项. 和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别
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