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一、证明题

1． 设函数，的周期为2π，且

【答案】傅里叶系数

由于f (x ) 在

上连续，由收敛定理知对

有

在端点x=0和

处，其傅里叶级数收敛于

令

有

2． 设f (x ，y ) 在区域

其中

【答案】任

取

时，有

又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述

现取

则当

取时，

所以

在点

处连续，由点

的任意性知

在G 内处处连续.

. 则当

时，有

上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

为常数，试证明f 在G 上处处连续.

对固定

的

连续，于是对任

给

存

在

试利用，的傅里叶展开计算

的和数.

二、解答题

3．

设

是区

域

上的有界k 次齐次函

数

问极

限

是否存在? 若存在，试求其值

【答案】令

由于

是区域上的有界k 次齐次函数，

4． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

解得

于是f 在条件

故f 在条件

下的最大值为下的最大值为

5． 若一元函数

在

上连续，令

试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.

任取

且因此当于是由于

在点在

因为

时，有

且

时，

处连续，因而f 在D 上连续. 上连续，从而一致连续. 存在

使当

因此，当

故f 在D 上一致连续.

为已知的n 个正数，求在限制条件下的最

在上连续，

从而

对连续，

对任给的

存在

使当

下面讨论f 在D 上的一致连续性： 于是对任给的

时，有

时，有

且

从而

6． 判别下列函数的奇偶性：

（1）（3）

（2） （4）

有

故

是R 上的偶函数.

有

故

是R 上的奇函数.

有

故f （x ）是R 上的偶函数.

（4）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的奇函数.

7． 求内摆线

所围图形的面积（图）。

（3）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意（2）显然，f （x ）的定义域为R. 对于任意

【答案】（1）显然，f （X ）的定义域为R. 对于任意

图

【答案】所围图形的面积为

8． 抛物线

【答案】设圆故

把圆

分成两部分，求这两部分面积之比。

表示另一部分的面积，则

面积为

于是

表示图中阴影部分的面积，