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一、证明题

1． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1) . (2)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

，故

(2) 同理可证.

2． 证明函数

【答案】

因为

幅

在

现设

于是有

又显然有

限个间断点，故可积. 因此，存在

所以

上的不连续点是

使对

是

在在

上可积。 上有界，且在

任给

的任何分法，只要

的满足因此，

所以

在

上可积。

由于

的任何部分区间上的振

在就有

上只有有

令

的任意分割.

设

. 存

在

即

存在

是A+B的一个上界.

使

得

于是

，

并

且

使得c=a+b, 则设

于是

证明：

二、解答题

3． 设f ，g 在

上可积，

和

分别表示f 和g 的傅里叶系数，则

【答案】写出f+g和f-g 的巴塞伐尔等式：

将上两式相减可得结论.

4． 设曲线方程

【答案】

（1

）为

即

（2）

于是曲线在

处的切线方程为

法线方程为

5． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为

及

所以

求它在下列点处的切线方程与法线方程：

于是曲线在点

法线方程为

即

处的切线方程

即

6． 试问k 为何值时，下列函数列

一致收敛：

【答案】⑴由

设则

又所以

故时取得上的最大值，从而

因此当(2)

当当为

的极限函数

.

所以

时，原函数列在

上一致收敛.

时，原函数列在时时，只要

就有

贝IJ

则

上一致收敛.

7． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：

(1) (2)

【答案】(1) 因为

*

所以(2) 因为

由拉贝判别法，当x>1时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=1时，原级数化为

，故由拉贝判别法可得原级数收敛.