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一、证明题

1． 证明sinx 在

【答案】对于任意的

上一致连续.

有

对任给的

在

取

则对一切

当

时，

有

故

上一致连续。

证明

：

和f , g ，h 均为增函数可得

于是

2． 设f , g 和h 为増函数，满足

【答案】由

二、解答题

3． 设函数下，方程

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i )

设由于

4． 利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积：

【答案】(1) 令

从而

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在区间内连续，函数

在区间内连续，而问在怎样的条件

能确定函数

显然

注意2知，

若

由于

在上连续

.

即存在点

都在R 上连续，且

可确定函数

故方程

不能确定函数

所以

，

满足

又

就可在

附近确定隐函数

故由上面的结论知方程

(2) 令

则

从而，所求体积

5． 计算下列二重积分：

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

【答案】(1) 原式(2) 曲线

将区域D 分为两部分和

其中在内

在

(3)

其中

所以

其中其中 其中其中

其中

内

所以

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(4) 积分区域为所以

从而原式令

则

所以

(5) 方法一积分区域关于直线y=x对称，所以

故

方法二作变换

所以

(6) 积分区域关于y=x对称，所以

于是

故

6． 求出椭球

在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

处的切平面方程为

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D 关于x 轴对称，而函数关于y 是奇函数，

则D 变为

于是

【答案】由几何学知，最小体积存在.

椭球面上任一点