2017年华北电力大学(北京)数理系692数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若
【答案】由
的构造，知
则数列
且
所以，数列设
2． 设
b]上的连续函数列，为[a，且对任意
在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得
这里不妨设设
再由
由于在点
连续，且由于数列
有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得
所以
由保号性，存在正整数K ，当k>K
时有所以当n>N时
矛盾. 从而
. 由
关于n 单调递增趋于f (x ) ，
在[a，b]上一致收敛于f (x ) .
且
有
证明：如果
对任意正整数k
，
单调递减且有下界，故其必收敛.
两边取极限，
得
解之，
得
所
以
收敛，求其极限。
收敛于连续函数f (x ) ，则
【答案】假设
在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .
二、解答题
3． 试作适当变换，计算下列积分：
【答案】⑴，则
于是
(2) 令于是
4． 设y=y（x ）是可微函数，求
其中
将x=0代入，可解得y （0）=0, 再将x=0代入，得
5． 求由曲线
与坐标轴所围图形的面积。
和
所围图形的面积为
则
【答案】将已知等式两边对x 求导得
【答案】如图所示，曲线与x 轴、y 轴的交点为
图
6． 用极坐标计算下列二重积分
【答案】⑴
(2) 应用极坐标变换后积分区域
从而
(3) 原积分(4)
7． 计算第一型曲线积分
【答案】方法一写出曲线的参数方程：
因为
所以
方法二由对称性可知，只需考虑沿上半圆周
的积分，这时
所以
8． 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：
在x=l处；
在x=0处.