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一、计算题

1． 证明

式中A 为归一化常数

，

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

2． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为

显然为非简并态。

微扰为故

由

故激发态的一级近似能量为

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其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发

3． 粒子在势场作【

答

案

】

利

中运动，其中

用

波

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

函

数

的

归

一

化

公

式

由重新代入

得：

表达式，得：

故基态能量的上限为：

4．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

且有试用Schmidt 方法构成正

贝IJ :

得：

同理，设由

则：

因此：

代入上式，得：

故：

5． 设

是

方向的单位矢量，在表象中

，

（1）计算（2）计算

并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态

试证该态与的方向无关，即由不同得到

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（3

）设两电子自旋态为

的态最多相差相因子。 【答案】⑴

（2）设的本征值为，本征矢为

则:

解久期方程将

，可得：

分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：

与对应的本征矢为：

表示为：

（3）利用矩阵直积的知识，可将

因此，对任意

倍。得证

得到的与态只相差

6． 设氢原子处于状态：

（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？

（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研]

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