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一、计算题

1． 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

几率为1，能量的平均值为

几率为1，其平均值为

2． 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

3． 设为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得

：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

故：

已知在本征态表象下因此有：

（3）在

下的平均值为：

4． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

5． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数

，

代表

（自旋向上）的状态波函数，

代表

是满足不含时的薛定谔方程

简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态

代表自旋向上的概率

，

代表自旋向下的概率，归一化表示为

：

6． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以

本征函数可以表示为

求氢原子的归一化本征函数

其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

其中a 为波尔半径.