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2017年华北电力大学量子力学(同等学力加试)复试实战预测五套卷

  摘要

一、计算题

1. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态?试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例

就是它们的共同本征态,本征值皆为

2.

若有已归一化的三个态交,归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和]

贝IJ :

得:

同理,设由

代入上式,得:

故:

3. 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到(1)利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. (2)指出所得结果的适用条件. 【答案】(1) 一维无限深方势阱:体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级,矩阵元一般形式

相互不对易,

且有试用Schmidt 方法构成正

则:

因此:

的微扰作用。

则第n 能级的二级近似能量

(2)结果适用的条件是:即

4. 设

为氢原子束缚态能量本征函数(已归一),考虑自旋后,

某态表示为

在该态下计算(结果应尽量化简):

(1)在薄球壳(2)在薄球壳(3)

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量,计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】(1)由题意可得:为:

(2)在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为:

故:

已知在本征态表象下因此有:

(3)在

下的平均值为:

5. 粒子在势场作【

中运动,其中

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

由重新代入

得:

表达式,得:

故基态能量的上限为:

6. 考虑自旋为的系统。 (1)试在

表象中求算符

的本征值及归一化的本征态。其中是角动量算符,

而4、5为实常数。

(2)假定此系统处于以上算符的一个本征态上,求测量得到结果为的概率。 【答案】(1)设设本征值为

则在

解得本征态为:

(2)在

表象中,

的本征态为

故发现

的概率为:

表象中

为归一化的本征态,

则由本征方程