2017年华北电力大学量子力学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态?试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例
如
就是它们的共同本征态,本征值皆为
2.
若有已归一化的三个态交,归一的新的态矢量
【答案】因为设由
所以
和
和]
贝IJ :
得:
同理,设由
代入上式,得:
故:
3. 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到(1)利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. (2)指出所得结果的适用条件. 【答案】(1) 一维无限深方势阱:体系的零级近似波函数和零级近似能量
求到二级,矩阵元一般形式
相互不对易,
但
且有试用Schmidt 方法构成正
则:
因此:
的微扰作用。
则第n 能级的二级近似能量
(2)结果适用的条件是:即
4. 设
为氢原子束缚态能量本征函数(已归一),考虑自旋后,
某态表示为
在该态下计算(结果应尽量化简):
(1)在薄球壳(2)在薄球壳(3)
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量,计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】(1)由题意可得:为:
(2)在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为:
故:
已知在本征态表象下因此有:
(3)在
下的平均值为:
5. 粒子在势场作【
答
案
】
利
中运动,其中
用
波
试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
函
数
的
归
一
化
公
式
由重新代入
得:
表达式,得:
故基态能量的上限为:
6. 考虑自旋为的系统。 (1)试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中是角动量算符,
而4、5为实常数。
(2)假定此系统处于以上算符的一个本征态上,求测量得到结果为的概率。 【答案】(1)设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为:
(2)在
表象中,
的本征态为
故发现
的概率为:
表象中
为归一化的本征态,
则由本征方程
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