2017年华南师范大学01411量子力学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 两个自旋为
的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为
其中c 为
实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：
在稱合表象中，本征函数的编号选为：
哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：
（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。
则可知的本征值为：
依题意可知，初态波函数为：
这样，可以给出t ＞0时体系处的状态
为：
（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：
2． 考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。 【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）基态：
空间部分波函数是对称的
：
自旋部分波函数是反对称的：
总波函数为：
（2）第一激发态：
空间部分波函数：
自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数为：
基态不简并，第一激发态是四重简并的。
3． 验证球面波
满足自由粒子的薛定谔方程：
（注：其中
代表仅与角度有关的微分算符）
【答案】
故
则
故
由（1）（2）（3）式可得
4． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态
电子跃迁到激发态的概率.
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由
.
【答案】（1）根据跃迁几率公式
其中
可知，必须先求得
终态量子数必须是
到末态
的跃迁矩阵元为
此即所需证明方程.
其中 T 为常数。
已知，a 基态其中为玻耳半径.
根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态
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