2017年吉林大学半导体物理、量子力学(同等学力加试)之量子力学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． —个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态
第一激发态
【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：
其中，于是可知能量为
为自旋波函数。 简并度等于
因此相应能量为
2． （1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
不对易.
得证.
相应简并度为6。 的对易关系. （2）证明
其中
第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：
3． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
4． 在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？
【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：
的投影为：
其相应的久期方程为：
即：利用解得：
可得：
所以，的本征值为（2）设对应于
的本征函数的矩阵表示为则：
由归一化条件，得：
可见，的可能值为而
相应的几率为
5． 设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；
（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为
在s 波情况下，
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