2017年扬州大学1307概率论复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得
试用两个标准分别建立一元回归方程.
【答案】（1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两种标准下的结果，可见较大差距.
2． 写出以下正态分布的均值和标准差
.
【答案】对
有
所以
对
的均值有
所以对
的均值
_有
所以
的均值
标准差
若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则
标准差
标准差
之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有
3． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
而
化为
当且仅当数据
时两条直线重合. 我们知道，
表示相关系数的绝对值为1，即n 组
1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.
不重合时，它们一定有交点
4． 口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？
【答案】记事件A 为“取出的是白球”，事件B 为“原来那个球是白球”.容易看出
：
另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设是合理的. 由贝叶斯公式得
5． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.
【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将4! 种可能放法，这是分子，于是所求这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×概率为
6． 设随机变量X 服从正态分布概率之比为7:24:38:24:
7.
【答案】由题设条件知
所以 （1）由
于
由此得a=55.56.
（2）由
于
由此得b=58.5.
试求实数a ，b ，c ，d 使得X 落在如下五个区间中的
即即
因此查表
得因此查表
得
（3）由（4）由
查表得查表得
由此得c=61.5. 由此得d=64.44.
7． 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.
【答案】记X 为掷4次中点数6出现的次数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4. 由确定概率的古典方法得
将以上结果列表为
表
由以上的计算结果也可以看出：出现0次6点的可能性最大.
8． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
试分别在下列条件下检验假设（
设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知
（2）未知.
）
.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为若取
由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水
平s=0.4760,
查表
得
一其中检验统计量
取
由样本观测值计算
故接受原假设.
二、证明题
9． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
以下对n 用归纳法：
又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
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