2017年新疆师范大学应用数学(同等学力加试)之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自
的一个样本，对如下的检验问题
已给出拒绝域
（1）求此检验的势函数；
（2）若要求检验犯第一类错误概率不超过0.05（即（3）若在（2
）的要求下进一步要求检验在
，n 至少要取多少？ ）
（4）如今n=20，
对此检验问题作出判断.
可见，在
时，势函数
是的严增函数.
，故由题意知，应有
由于
是增函数，故
在
处达到最大值，故只要使
即可实现，由此解出
譬如，在n=5时，c=0.4949; n=10时，c=0.4974.
由题意知，要求在可得
可见，若取n=10即可使
处犯第二类错误的概率不超过0.02.
如今
故不应拒绝原假设
处有
即
若把（2）中的
代入，
（3）在备择假设成立下，犯第二类错误的概率为
【答案】（1）此检验的势函数为
）. 如何确定c?
处犯第二类错误的概率不超过0.02
（即
其中
为样本的最大次序统计量.
（2）在成立下，犯第一类错误的概率为
（4）如果样本量n=20，则其拒绝域为
这个结果与（2）定出的精确值较为接近. 2． 设足
【答案】由于概
率
等价于要
使
, 满足上
述不等式的最小n 可用搜索法获得, 如下表:
表
是来自正态总体的最小n 值.
所以有
分布的0.95分位
数
不大
于
要使上述
即
的一个样本.
是样本方差, 试求满
由此可见, 当就可使上述不等式成立.
试求：
3． 从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列记为
（1）X 的分布函数； （2）P （X<2）及P （X>4）. 【答案】（1）因为X 的分布列为
所以X 的分布函数为
（2）
4． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比
要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当
为整数且
必导致
时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即
比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，
综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19, n=5，x=2场合，
M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
实际计算如下表 表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
5． 从数字1，2，…，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.
，【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）因为
必导致
这表明：当
为整数和
时，似然函数L （M , x ）
而当
其中[a]为不超过a 的最大整数.
由于为整数，故
如下表1所示：
，（不为整数）