2017年信阳师范学院概率论与数理统计(同等学力或跨学科加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1．
设
是来自
的样本, 试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
的几何平均
为
或其对数
的充分统计量. 另
都是的充
外, T 的一一变换得到的统计量, 如
分统计量.
2． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.
【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知
由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为
于是
3． 设随机变量
【答案】（1）（2）
（3）因为
而有（c-3）/2=0.由此得c=3.
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其中
（1）求（2）求（3）确定c
使得
所以由题设条件进
4． 设
【答案】因为
，对k=l，2，3，求
与
所以
5． 设
其中
试问
是否服从大数定律？
为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为
【答案】因为
由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故
存在, 所以由辛钦大数定律知
服从大数定律.
6． 设某一设备装有3个同类的电器元件, 元件工作相互独立, 且工作时间都服从参数为X 的指数分布, 当3个元件都正常工作时, 设备才正常工作, 试求设备正常工作时间T 的概率分布.
【答案】记
第i 个元件的工作时间,
则
独立同分布, 其共同的密度函数
和分布函数分别为
由题设条件知, 当3个元件都正常工作时, 设备才正常工作, 这等价于“3个元件中有一个失效, 则此设备就停止工作”, 故设备正常工作时间
所以T 的密度函数为
这表明:设备正常工作时间T 服从参数为
7． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布
的指数分布.
有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为
现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布.
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【答案】因此
由以上结果我们可以得到λ的后验分布
8． 设律？
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
为独立的随机变量序列, 其中
服从参数为
的泊松分布, 试问
是否服从大数定
二、证明题
9． 设明:
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
为绝对收敛级数, 可记
. 因为
故有
所以由马尔可夫大数定律知
10．设正态总体的方差
服从大数定律.
两值之一，为总体的容量n 的
则检验犯第二类错误的概率
为
从而在
给定时，有
否则
令
, 并讨
论
即可.
由
知
为绝对收敛级数. 令
证
为已知值，均值只能取或
样本均值. 考虑如下柃验问题
若检验拒绝域取
为
（1）试验证：
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
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