2018年哈尔滨理工大学应用科学学院612数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 将函数
在
上展开成余弦级数.
的连续偶函数
.
所以由收敛定理可得在
上
2． 试求三角多项式
的傅里叶级数展开式. 【答案】因
是以
为周期的光滑函数, 所以可在
上展开为傅里叶级数,
所以在
上有
的傅里叶展开为
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【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为
即其傅里叶级展开是其自身.
3
． 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:
⑴
（3）
【答案】（1）令
（2
）
（4
）
dx=2tdt
而当
, 有
9
而当又
而
（2）
绝对收敛.
（3
）令令
. 则
可见
时, g （X ）在
上单调趋于0, 由狄利克雷判别法知,
由狄利克雷判别法知. 散,
并且综上所述, （4）当
时,
由
且
发散, 故
发散, 于是
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,
时, 单调趋于0.
故由狄利克雷判别法知:收敛.
是发散的.
故发散.
所以在
,
由定理推论3.
是条件收敛.
收敛. 再由定理,
, 则
>
收敛
.
收敛.
但由于
, 故
发散.
, 发
条件收敛.
发散, 且有
令
, 则
所以. 当
时, g （x ）是单调递减的, 且有, 由狄利克雷判别法,
由此得可以证明 4． 设
求极限
发散. 用上面证明收敛. 故
令
收敛, 于是
收敛的方法,
条件收敛.
, 则 收敛.
【答案】因为
且
所以当时,
当
5．
应用
时,
求
【答案】设
在任何[c, d] （c ＞o ）内一致收敛.
所以
则
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