2018年哈尔滨医科大学公共卫生学院611数学综合之数学分析考研基础五套测试题
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一、证明题
1． 设
并且对于任何
, 则有
对上式两边同时求导, 得
即
于是对两边取转置又得
.
总有
2． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列
【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）令
则
3． 设
【答案】由上确界定义, 对
证明:存在
使使
又由
由迫敛性得
4． 设
，证明:
【答案】
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有常数, 证明
【答案】设
都有一定存在
有
.
则称a 为数集A 的上确界, 即
成立
所以
5．
设
【答案】由保不等式性知
时,
于是,
故当
即当时
时, 原命题是成立的. 当
于是
由的任意性知
6．
证明域
使得
存在x 0的一个邻
时, 对任给的
, 存在
证明
如果
其中
为正整数. 那么, 对任给的
, 存在
使得当
在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是:对任意
在
上一致收敛于f.
总存在x 0的一个邻域而
当
在[a,
b]上一致收敛于f , 因此
由已知时
,
覆盖[a, b].
有
. 使得
在有
【答案】必要性
所以充分性 从而
和
I 的一个内闭区间[a, b]
, 使得在
上一致收敛于f. 上一致收敛于f.
显然, 当x 0取遍
[a, b]上所有点时,
由有限覆盖定理, 存在有限个区间覆盖[a, b].不妨设 取所以
7． 设正项级数
【答案】
收敛. 证明:级数收敛, 则
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则当n>N时,
在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性, 得
在I 上内闭一致收敛于f.
.
也收敛, 其中
令
则
, 级数
的部分和为
从而级数
收敛.
二、解答题
8
． 求下列级数的和:
（
1）（2）
.
, 易知其收敛域为
, 由幂级数的性质知
所以
故
（2）设
易知其收敛域为（-1, 1], 且
从而
故
9． 判别下列级数的敛散性:
（1）（2）（3）（4）（5）
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【答案】（1
）设
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