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一、证明题

1． 在[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

从而时, 有

及

, 有

恒成立. 所以对于任意

取

当n>N时, 对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

发散,

这与

存在优级数特别取, 有

而正项级数优级数

2． 证明定理:.

【答案】定理:

若

）时.

发散.

所以级数为优级数矛盾, 因此级数不存在

则对任给的

于是当

存在

.

使得当

时, 也有

’

. 而当

, 则当

（即时, 总有

故

）时有

&

即

同理可得

并且

则对任给的（即

存在）时有取

. 使得

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3． 证明:若

【答案】

存在,

则

4． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

即当

上

时,

, 则

证明g 为连续函数.

. 对于任给的; 设

, 存在, 由

, 使得当知g 由保不等式故g （x ）在

x 0连续.

由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

5

．

已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

6． 设数列

设有

为（a , b ）中互不相同的点列，a n 为函数

f n （x ）在（a , b ）上的惟一间断点.

在（a , b ）上一致有界，即存在正数M 使得

均成立. 证明：函数

【答案】由上连续，

所以

在

上连续.

此即

【答案】令所以又再令

在

对所有的n 与所

.

在（a , b ）内的间断点集为

，知

f n 在（a , b ）上一致收敛，（x ）在

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对任意固定的在a k , f k （x ） 在x=ak 处间断，

在x=ak 处间断，故函数

间断点集为

在x=ak 处连续，

在（a , b ）内的

二、解答题

7． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:

（1）（2）

【答案】（1）1, 法线方程为

（2） 8． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

9． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使

（1）

【答案】（1） f （x ）在

（2

）上连续, 又因为

所以f （x ）在x=0右连续. 故f

（x ）在

内连续

.

故f （x

）在

（2）所以

时,

在x=0不可导. 则

所以

; 当

;

.

,

故切线方程为

, 即

故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.

, 即

. 法线斜率为－

内可导,

且,

根据罗尔中值定理,

存在一点

在

,

使

上不满足罗尔中值定理的条件. 当时,

, 所以

故