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一、解答题

1． 求下列函数的稳定点:

（1）（2）

【答案】（1

）

故（2）

的稳定点是, 由

得

, 解得x=1.故f （x ）的稳定点是x=1.

.

由

得

, 解

得

2． 求以下数列的上、下极限

（1）（2）（3）（4）（5）（6）没有其他的聚点. 故

（2）令因为

,

（3）因（4

）

故

（5）因为

所以

. 故数

列

的项共有5个不同的值

:

和1, 显

然

则由数列所以

和

的偶数项、奇数项组成的数列分别是

都是数列

的聚点, 由于

没有其他的聚点, 因此

; .

. 当n 为奇数时,

, 而数列

;

【答案】（1）当n 为偶数时,

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（6）因为

, 所以

,

而

, 由迫敛性得知

3． 设函数

则存在

在含有

使得

有

而

故有

令

则有

即

4． 设定义在

的某个开区间内二次可导,

且

【答案】由Taylor 定理得, 对

上的函数, 在任何闭区间上有界. 定义上的函数:

试讨论（

1）

与的图像, 其中

表示从

到

期间

的下确界（有时是

在区当

时,

【答案】

（1）如果把x 看作时间,

那么

最小值）.

间

时,

则表示从

, 对一切

到

期间

内单调递减到最小值-1, 并且

的上确界（有时是最大值）

. 函数是它的最大值. 于是, 当总有

即

（2）同理可得

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（1

）与（2）的图像分别如图1

和图2所示

.

图

1

图

2

5． 设

存在连续的导函数, 有

试求:

【答案】作球坐标变换

则

于是有