2018年青岛大学师范学院880数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求螺旋面
【答案】由于所以曲面积为
2． 设
, 且
求证:
, 对于
. 且
, 使得
取
,
的面积.
, .
,
【答案】用反证法假设结论不成立, 那么X=l, 2, ... ,
相应产生序列又由于
满足
,
推知
使得
于是
,
, 即得矛盾, 故反证法假设不成立, 即结论成立. 但是由
推出
3． 设有一吊桥, 其铁链成抛物线形, 两端系于相距100m 高度相同的支柱上, 铁链之最低点在悬点下10m 处, 求铁链与支柱所成之角.
【答案】建立如图所示的坐标系, 则悬点A , B的坐标分别为链的方程为
于是
, 铁链与支柱所成之角
和
. 由此得铁
图
4． 计算, 其中S 为圆锥表面的一部分
这里为常数【答案】由于
.
则
5． 应用凸函数概念证明如下不等式:
（1）对任意实数a , b, 有（2）对任何非负实数a , b , 有【答案】（1）令定义中的（2）
. 因, 则有
,
恒成立, 故是
. , 当
时
,
, 从而
即
6． 设a>0, b>0, 求
【答案】当
和
.
时, 被积函数趋向于0, 所以积分是正常积分. 注意到
则原积分可写成
由于
在
（设a 是 上 . 上的凸函数, 的凹函数. 故由定义可知, 对任意非负实数a , b, 有 记, 连续使用分部积分法可得 即 于是 7． 求常数, 使曲线积分线L 成立. 【答案】令 由题知所考虑的积分在上半平面内与路径无关, 所以 , 即 , 故 8． 试确定级数你的结论. 【答案】由 所以当x>0时级数为 由于 而 所以级数的一般项在 , 有 内不一致收敛于0, 故级数 使得当 （其中）对上半平面内任何光滑闭曲 . 的收敛域. 又问:该级数在收敛域内是否一致收敛? 是否连续? 是否可微? 证明 收敛, 当x<0时发散, 当x=0时级数发散, 所以级数的收敛域 在时有 内不一致收敛 . ,
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