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一、证明题

1． 设f 为

上的连续减函数,

; 又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

2． 证明:若f , g 均为和g , 则

其中

为f 的傅里叶系数,

为g 的傅里叶系数.

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在

上

【答案】依题意, f ﹢g 与f ﹣g

均为

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在

上分别一致收敛于f

分别一致收敛于f ﹢g 和f ﹣g , 由帕塞瓦尔等式可知

两式相减即得

3． 证明:若在

则

.

【答案】由题设知, 当常数.

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上f 为连续函数, 且对任何a>0有

, c 为常数.

时,

特别对任何x>0.今

,

则有

f （t ）dt=常数, 于是对任何a>0有

,

, 这里c=f（1）为

二、解答题

4． 试作函数

【答案】

在区间

的图像. 是以

为周期的周期函数, 是一个奇函数, 它的定义域为R ,

值域为

上的表达式为

它的图像如图所示

.

图

5． 求摆线:

【答案】因

故质心坐标为

6． 求下列曲面在所示点处的切平面与法线:

（1）（2）

【答案】（1）令故切平面方程为

﹣2（x －l ）+（y －）+（z －2）=0,

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的质心, 设其质量分布是均匀的.

在点（1, 1, 2）

在点

, 则

法线方程为

（2）令

则

故切平面方程为

即

法线方程为

7． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数

发散, x=-l

时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）.

设

, 则

故

（2）设

当

则

时, 原级数可化为级数

故收敛半径

其中

又

故

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发散, 故原级数的收敛域为