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一、解答题

1． 计算曲线积分径:

,

（a>0, b>0, c>0为常数）,

中解出

.

, 代入椭球面方程整理

其中L 是从点（a , 0, 0）沿着以下曲线到点（0, 0, c）的路

【答案】方法一 （用参数方程求解）从可得

令

则

由于

并注意到椭圆心在

处, 所以

故

方法二 （选取z 作为参数）曲线L 的参数方程为

z 从0到c.

于是有

方法三 （用斯托克斯公式求解）由于空间曲线L 不是闭曲线,

所以补充直线段L

1, 使得L+L1

为闭曲线, 其中L 1是从点（0, 0, c）沿直线

式,

有

其中S 是由L+ L1围的有限部分.

注意到S 在xOy

平面、yOz 平面以及zOx 平面的投影分别为

’到点（

a , 0,

0）的直线段. 由斯托克斯公

及

所以

2． 讨论下列函数在给定点或区间上的连续性, 并指出不连续点的类型.

（1）

（2）黎曼函数

, 在[0, 1]上.

【答案】（1）当a>0时, 当a=0时, 当a<0时, 由于不连续;

综上所述, 当a>0时, f （x ）在点

连续; 当

时, f （x ）在点

不连续, 此时

为

在点, 其中a 为一实数;

在点

不存在, f （x ）在点

不连续; , 所以

连续;

不存在, f （x ）在点

第二类间断点.

（2）由黎曼函数的极限结论:对

, 从而R （x ）在点

点都是可去间断点.

3． 将函数展开为正弦级数

.

所以由收敛定理, 在

上

当x=0或时, 上式右端收敛到

4． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.

（1）若在int D内有（2）若在intD 内有

试问f 在D 上有何特性？

f 又怎样？

则

连续; 当

有为有理点时,

知, 当

为0, 1或（0, 1

）内无理点时

不连续, 即R

, 从而R （x ）在点

（x ）在0, 1及（0, 1）内无理点处都连续, 在（0, 1）内有理点处都不连续, 且易知（0, 1）内有理

在上展开成正弦级数.

【答案】对f （x ）作周期性奇延拓, 得一以为周期的函数, 因f （x ）按段连续, 故可将f （x ）

（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数f 在D= [a, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点

即

由

由中值定理知:存在的任意性, 知则f （x , y）=常数.

由中值定理知:存在

使得

因为

所以

由

上二元函数

使得

（2）若在int D内有事实上, 对int D内任意两点

的任意性, 知f （x , y ）=常数.

（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立. 例如, 在矩形区域