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一、证明题

1． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

2． 如果

【答案】记因为令而

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而

, 由的任意性知

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则

, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且

, 所以有而对于

结论得证.

3． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布 4． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

5． 设随机变量序列证:

【答案】这时

6． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

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, 且X

的特征函数, 由唯一性定理知 , 试证:随机

【答案】

, 由此得

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

,

这与前面推出的

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且仍为独立同分布, 且

试

由辛钦大数定律知结论成立.

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

不等式的下界.

7． 设为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

8． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数

.

【答案】因为当

时, 有

又因为当0

【答案】因为

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

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