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一、证明题

1． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

‘所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有 2． 设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

从而

故，由又可算得

从而

故

3． 证明公式

其中

即

更有效.

知两者均为的无偏估计.

结论得证.

而当时, 有

时,

有

其中常数

, 令

事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

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而对k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

4． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

故

的无偏估计量。

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

的最大似然估计量

；

（I ）求Z 的概率密度

这就证

其中是未

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

（III

）由于 5． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

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它与 6． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T

是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T

是

的无偏估计量。（II

）当

7． 证明:容量为2的样本

【答案】

8． 设随机变量序列证:

【答案】己知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

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无关, 从而是充分统计量.

时，

的方差为

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

试