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一、计算题

1． 设随机变量X 的分布律为

【答案】由题意知, 当当当当

时,

2． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字

再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得

3． 在一个单因子试验中，因子A 有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下:

表

则

且有

服从参数为p 的几何分布，因此

由

时,

时, 时,

求它的分布函数

每次随机抽出一个，记下其号码，放回去

试计算误差平方和、因子A 的平方和出每个水平下的数据和以及总数据和:

与总平方和，并指出它们各自的自由度.

【答案】此处因子水平数r=3, 每个水平下的重复次数m=4, 总试验次数为n=mr=12.首先，算

误差平方和

由三个平方和组成:

于是

而

4． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.

【答案】记且

为第个灯泡的寿命（单位:天），

则

由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

5． 设随机变量X 的密度函数为

试求以下Y 的密度函数: （1）其反函数为

（2）

（3），及

. 且

，所以Y 的密度函数为

（2）因为其反函数为

的可能取值范围是

，及

. 且

是严格单调增函数，

是严格单调增函数，

【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是

，所以Y 的密度函数为

（3）因为

数，

的可能取值范围是，且

在上是严格单调增函

其反函数为. 及，所以Y 的密度函数为

这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为

）的密度函数为

本题结论就是

时的韦布尔分布形（1/2，1）.

，其中

未知，

6． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位:min ）服从均匀分布

假设

的先验

分布为

假如此人在三个早上等车的时间分别为

5, 3, 8min , 求后验分布.

【答案】

与

的联合分布为

此处

于是的后验分布为

7． 设二维随机变量（x ，y ）的联合密度函数如下，试问x 与y 是否相互独立？

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】（1）当x>0时，所以由（2）因为

，所以与的联合分布为

•

'

；而当y>0时，

，知X 与Y 相互独立.

.