当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设离散随机变量X 服从几何分布并以此求

和

则

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

2． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差.

（1）（2）

【答案】（1）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为

又因为

所以

试求X 的特征函数，

【答案】记

（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当所以当而当又因为

时，有时，有时，有在

所以

处不可导，故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.

3． 蟋蟀用一个翅膀在另一翅膀上快速地滑动, 从而发出吱吱喳喳的叫声, 生物学家知道叫声的频率X 与气温Y 具有线性关系, 下表列出了15对频率与气温间的对应关系的观察结果:

表

1

试求Y 关于X 的线性回归方程.

【答案】本题需求出Y 关于X 的线性回归函数

表

2

, 为此, 先将需要的计算列表如下:

故回归方程为

4． 设随机变量X 服从正态分布

（1）求

的置信水平为

的置信区间； 已知, 的置信水平为

的置信区间为

.

（2）要想使

未知. 在X 的10个观测值的平均值

时.

的置信水平为0.95的置信区间的长度不超过1, 则n 至少取多大？

【答案】 （1）由于所以正态总体数学期望由题设知故

的置信水平为0.95的置信区间为

的置信水平为0.95的置信区间为

（2）当观测值个数为n 时,

于是要使这个区间的长度不超过1, 即必有即观测值个数n 最少为

123.

5． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？

【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率

其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为

考察相连两项比值

当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，

；当且仅当N>15000时，

，

达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估