2017年中国矿业大学(北京)理学院802高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知线性变换T 在基
下的矩阵为
求它在基
下的矩阵. 【答案】设T 在基. 下的矩阵为A ，再设基
到基
过渡矩阵为
则
由①式有
解之得
类似可求出其它
从而可求得
故
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的
2． 设
是n 维空间V 的两个子空间，且其维数之和等于n. 证明：存在V 的线性变换V 使
则取T=0; 若
则取T=I, 即得. ）且
与
使
【答案】若设分别为（其中由此可得
维数分别为S ，T （于是与
的一基. 现扩充为
个向量）为V 的一基. 于是，存在T 的线性变换T 使
下再证：任取则由（8）得所以因此，又因为
3． 解方程组
则
再令
（9）
故由（8）知
从而
【答案】方程组的系数行列式
当
由克莱姆法则方程组有唯一解:
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当时，方
程组为
对其增广矩阵作行初等变换：
上式出现矛盾方程，故方程组无解.
4． 设A 是一个n 级可逆复矩阵，证明A 可以分解成A=UT, 其中U 是酉矩阵，T 是一个上三角矩阵
时，
方程组为
其解为
其中
为自由未知量. 当
其中对角线元素
【答案】设A 的n 个列为
将设为
都是正实数，并证明这个分解是惟一的.
用施密特过程正交化，再单位化，得到一组正交的单位向量
并可取是正实数（i=l，2，…，n ）. 令
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