2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
A. 合同且相似
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则A 与B （ ）.
B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
所以A 的特征值为3，3，0；而
二、分析计算题
6． 设m ，n 为自然数，证明：
【答案】（I ）记所以
即
同理有
（II ）设由于
使
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使
则存在
的一个公因式，即
所以
而
结合式（1）、式（2）可得由（I ）、（II ）可知.
7． 元素属于实数域R 的
矩阵，按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令
在这线性空间中，变换
是一个线性变换，试求F 的核的维数与一组基. 【答案】解法1取
的一组基
则由①可求得其中
令再令
则解法2设
从而
则
解之，可得基础解系 8． 设向量组明：
【答案】设
易知它与
的极大线性无关组分别为
等价，具有秩
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得基础解系
且为KerF 的一组基.
余下步骤同解法1.
的秩分别为
证
及
由于
合成向量组
皆小于等于
又极
中任一无关的向量部分组中向量数小于等于极大线性无关组的向量数，故