2018年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 已知实二次
型
为任意常数.
的矩阵A ，满
足
且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型
的具体表达式.
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【答案】（Ⅰ）由由
知
，B 的每一列
满足
知矩阵A
有特征值
即
是属于
A 的特征值.
则
与
—
j 正交，
于是有
令
的线性无关特征向
显然
B 的第1
, 2列线性无关
，量，
从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
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3． 设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换，
如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解.
时
其中E 是四阶单位矩阵
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
4． 已知
即
时
此时方程组无解.
是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
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