2018年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
2． 设A 为三阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得到单位矩阵，
记
A. B. C. D.
从而与
线性表出
是等价向量组
若向量组的
的极大线性无关组的是（ ）
则A=（ ）。
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
【答案】D 【解析】由题意知
，
3． 已知两个n
维向量组
秩
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】A 项，
仅
BD 两项，向量
组
得
及
可由
线性表出，
并不能保证
由
于
线性无关.
故
等价，
知
可由与
则下列条件中不能判定
线性无关
线性无关，又能表示（II ）中每个向量.
C
项
线性表出，
故
4．
设
=（ ）. A.9 B.6 C.3 D.1
【答案】B
【解析】
由矩阵加法知
或
可由
线性表出
表
明
又线性无关，那么
且
都可
由是极大无关组.
则
均为四维列向
量
根据行列式的性质有
5． 下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是（ ）。
【答案】C
【解析】C 项，第一个方程和第二个方程是矛盾方程.
若
则必有
方程组无解.
AB 两项，系数行列式不为零，方程组惟一解.
D 项，第一个方程+第二个方程=第三个方程. 第三个方程是多余方程. 显然
有
方程组有无穷多解.
6． 设A
是
A. B. C. D.
的解是同解.
的解. 当A 列满秩时，
即
的任一解，
即
则必有
时，
齐次线性方程组从而也为
的解，
矩阵，B 是
矩阵，
则方程组
与.
同解的充分条件是（ ）.
【答案】A 【解析】
易知
只有零解. 于是，
若
为因此
与
二、填空题
7． 设A 是3
阶矩阵
【答案】1，1，1 【解析】由已知条件，有
是3维线性无关的列向量，
且
则矩阵A 的三个特征值是_____.
因为线性无关，
故矩阵
即
可逆. 记
那么由AP 二PB
得
因为
因此矩阵B 的特征值1, 1, 1,
所以矩阵A 的特征值为1，1，1.
8
．设均么
_____ 【答案】2
为3维列向量，记矩
阵
那
如果
【解析】矩阵B 可写成两个矩阵的乘积形式，即
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