2017年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性无关.
线性无关.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B.
C.-1
D.
【答案】B 【解析】
故
但当a=l时，
3． 设
均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若线性无关，则
线性无关.
【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩
则
线性无关，
否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
有
由上述知线性相关，所以于是
因此线性相关，故选A.
4． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】因为
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
.
）
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设V 是数域K 上n 维线性空间，
（1）存在I
【答案】（1）因（2
）令
则存在
使得
使
是V 的真子空间，由上例，存在同样有
，
且
且
•显然
，
（2）存在V 中一组基
是V 的s 个真子空间，证明，
线性无关.
令
也是所得到
的根.
线性无关，如此继续下
，去，可得线性无关向量组（构成V 的基）且有
7． 设f （x ）是次数大于零的整系数多项式，若是f （x ）的根，则
【答案】设
的余式. 由带佘除法定理，可设
而所以
即有
可见 8． 设
【答案】令
由换元公式得
这里r 是，求行列式
的值.
的根. 的根，即
其中
去除
中所有元素的代数余子式之和. 由