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一、选择题

1． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故

是

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

的基础解系. 又由

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

则线性方程组（ ）•

则分块矩

3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B.

的伴随矩阵为（ ）.

C. D. 【答案】B

【解析】由题设可逆，由于

且

所以

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

，

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似

则A 与B （ ）.

C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3，3，0；而

二、分析计算题

6．

假设被

整除.

【答案】设25-1的5个根为

则

互不相同，且记为

由假设可得

由范德蒙行列式可知齐次方程组①的系数行列式不等于

0.

即证.

7． 证明:

【答案】先证第一式.

对

故得

对

时，有

从而证明了

类似地可以证明第二式.

8． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换，在某基下的矩阵为对角矩阵，又T 的全部互异的特征值. 证明：存在V 的线性变换

①②③④

有

及

于是

即

有

故都有

且

即

当

时，

有

于是

当得到

为

使