2017年山东大学威海校区825线性代数与常微分方程之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
到基
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
3． 若
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
5． 设向量组
秩
未知量个数，
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设K[x]为数域K 上全体多项式作成的线性空间，式作成的n 维空间，问：以下的并给出一基：
为由0及K 上次数小于n 的全体多项
对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？
；
（f 为K 上一给定多项式）
及K 上仅含偶次项的多项式!.
【答案】多项式
都属于
于是又若于是
是k 上n —1维线性空间，即若
则
且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意
，则
因此，
是K 上无限维线性空间，而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）
.
是无限维线性空间，又
为其一基（扩
作成线性空间显然. 而且类似d 易知，
大的基的概念）.
7． 设A 为mxn 矩阵. 证明：，向量
使
【答案】设
则存在m 与n 阶可逆方阵P ，Q 使
的
作成K 上线性空间显然，它是
则即
维子空间
.
的一个子空间，又显然若
则K 即零空间，
中每个多项式都可由
线性表示，因此，
且线性无关：因为若
即f （x ）的所有系数之和为0,
作成K 上线性空间显然. 又显然K 上
，存在线性无关的m 元列向量和n 元行
其
中
为r ×n 矩阵，而
矩阵，
而，为其线性无关的列向量）
为其线性无关的行向量）.
及n 元行向量
反之，设（2）式成立. 则由替换定理知，存在m 元列向量