2018年闽南师范大学数学与统计学院913概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
与
是从同一正态总体
独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量
且相互独立，所以
于是有
等价地，
最后结果表明，只要样本容量可能性不大于
就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差的
这意味着，只要样本容量较大，两样本均值的距离不超过的可能性是很大的，
n ，使得两样本均值的距离超过的概率不超过
【答案】由于
可达
2． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得
从中解得
取
即可以
服从正态分布
记问至
的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式
的把握使平均值与实际值a
的差异小于
3． 设圆的直径服从区间（0, 1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
，而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为，所以圆面积
的密度函数为
，
4． 设
是来自Rayleigh 分布的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到
由此可见故对
是
的无偏估计. 当
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式
时，，或者
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
.
较大时，拒绝原假设是合理的.
确定. 为了确定c ，需要充分统计量
，
的分布.
利用分布的分位数可确定临界值C.
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
，从而有
在原假设
成立下，有
这里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，
, 从而有
故由等式则有
即
若
查表得
从而
这个结果与（2）定出的精确值较为接近.
5． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0, 1），试求以下Y 的密度函数:
（1）【答案】（1）
；（2）
, 所以
当
Y 的密度函数为时，
对上式两端关于y 求导得
所以Y 的密度函数为
这个分布被称为半正态分布.
；
.
故由中心极限定理知
可得，记为标准正态分布的分位数，
的可能取值范围为
当y >0时，Y 的分布函数为
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