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一、计算题

1． 设圆的直径服从区间（0, 1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.

【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积

，而X 的密度函数为

因为且

在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为，所以圆面积

的密度函数为

2． 设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

试求 （1）常数k ;

（2）（x , y ）的联合分布函数F （x , y ）; （3）

【答案】（1）由

解得k=12.

（2）当x ≤0或Y ≤0时，有

；而当x >0，y>0时，

所以

（3）

3． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.

【答案】考虑n 个“1”的放法:2n 个位置上“1”占有n 个位置，所以共有

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，

.

种放法，这是

分母，而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+l个位置）去放“1”，

这共有种放法，于是所求概率为

具体可算得随着n 的增加，此种事件发生的概率愈来

愈小，最后趋于零.

4． 在一个单因子试验中，因子A 有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下:

表

试计算误差平方和、因子A 的平方和出每个水平下的数据和以及总数据和:

与总平方和，并指出它们各自的自由度.

【答案】此处因子水平数r=3, 每个水平下的重复次数m=4, 总试验次数为n=mr=12.首先，算

误差平方和

由三个平方和组成:

于是

而

5． 请叙述下列事件的对立事件:

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）=“掷两枚硬币，至少有一反面 （2）

=“射击三次，至少有一次不命中目标

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（3）=“加工四个零件，全为不合格品

6． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记

又记

由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为

所以由

得P （E ）=0.5.

此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性，在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的，事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位，利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算，此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下:

因为甲掷n+1次硬币共有

n

种可能，乙掷n 次硬币共有2种可能，

因而样本点的总数为

又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，k=0, 1, 2，…，n , 1≥1. 则所求概率

P （甲掷出的正面数＞乙掷出的正面数）

注意，如果甲掷n+1次改成n+2次，乙仍掷n 次，则“甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多”的概率可见下题。

7． 设和

试求样本均值

【答案】

因而得

是两组样本观测值，且有如下关系:

和

间的关系以及样本方差

和

间的关系.

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