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一、计算题

1． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设，样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上的MLE ，于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数

在（0, 1）区间内单调递增，在

从而似然比检验等价于采用

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡

上单调递减，于是

分别为

的MLE ，而在

上

为u

的似然比检验.

方检验是等价的.

2． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ，在这城市的居民中有订阅C 报，

同时订阅A 报B 报、

同时订阅A 报C 报、

订阅A , B , C 报，求以下事件的概率:

（1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的. 【答案】仍用

A ，B ，C

订阅A 报、订阅B 报、

同时

同时订阅B 报C 报、

分别表示订阅

A ，B ，C 报，

则

（1）P （只订阅A 报）=

（2）因为P （只订阅一种报纸），其中

，

所以

P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73.

（3）P （至少订阅一种报纸）

（4）P （不订阅任何一种报纸）=

3． 已知

【答案】

4． 已知在文学家萧伯纳的数X 近似地服从对数正态分布，叫中的单词数分别为

求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布

的最大似然估计.

的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即

由于最大似然估计具有不变性，因而

的最大似然估计为

5． 某种产品由20个相同部件连接而成，每个部件的长度是均值为机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为求该产品的不合格品率.

【答案】

记

为第i 个部件的长度，

则

可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率

所以不合格品率为

6． 设二维连续随机变量

的联合密度函数为

试求条件密度函数

一书中，一个句子的单词

. 今从该书中随机地取20个句子，这些句子

求

标准差为的随

时为合格品，为总长度，且

【答案】因为当时，所以当时，

这是均匀分布其中可见，这里的条件分布实质上是一族均匀分布.

7． 下表是经过整理后得到的分组样本:

表

试写出此分组样本的经验分布函数. 【答案】样本的经验分布函数为

8． 同时掷5枚骰子，试证:

（1）P （每枚都不一样）=0.0926; （2）P （—对）=0.4630; （3）P （两对）=0.2315; （4）P （三枚一样）=0.1543; （5）P （四枚一样）=0.0193; （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

取2枚组成“一对”，共有所以

（3）先将5枚殷子分成三组，其中二组各有2枚骰子，另外一组只有一枚骰子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有6x5x4=120种可能，所以所求概率为

个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚殷子出现的点数都不一样，

种分法，