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一、计算题

1． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？

【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率

其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为

考察相连两项比值

当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，

；当且仅当N>15000时，

，

达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估

计.

2． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8, 问:

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

. 而当

时，有P （AB ）达到最小值0.4.

, 射击到击中两次为止, 设以X 表示首次击中

（2）条件分布律.

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所以当

所以

有

3． 一射手进行射击, 击中目标的概率为

（1）X 和Y 的联合分布律;

目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数, 试求:

【答案】由题意, 令则X 和Y 的联合分布为

表示“第

次和第j 次击中目标”, 那么

（2）x 的边缘分布为

Y 的边缘分布为

当

时

当

时

.

4． 设总体分布列如下，

（1）（2）

【答案】（1）总体均值

故

（2）总体均值

故有

即

从而参数的矩估计为

的矩估计量为

的最小整数代替

由于

其中为样本均值，若

不是整数，可取大于

是样本，试求未知参数的矩估计.

（正整数）是未知参数；

解之可得

5． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

. 而当k ≥ 1时有

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（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩:

（4）最后计算偏度与峰度

由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现:①在区间

布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间正态分布更尖峭.

6． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记（1）

服从伽玛分布

；

内，

外

，

此时二项分

此时二项分布是对称的，且比标准正态

，此时二项分布比标准

设各周的需求量

相互独立，

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数

为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.

，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为

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