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一、计算题

1． 设随机变量U 服从（-2, 2）上的均匀分布, 定义X 和Y 如下:

试求

【答案】先求X+Y的分布列. 因为X+Y的可能取值是-2, 0, 2. 所以

综上可得X+Y的分布列

表

此分布对称, 所以

从而得

2． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为

设鱼的含汞量服从正态分布试检验假设（取

当α=0.10时，查表知

由样本观测值计算得到

故在显著性水平0.1下接受原假设.

3． 某种商品一周的需求量是一个随机变量, 其密度函数为是相互独立的, 试求（1）两周需求量的密度函数

【答案】记为第i 周的需求量,

服从伽玛分布（1）（2）

）.

【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题，

检验的拒绝域为

设各周的需求量

相互独立,

且密度函数都为

（2）三周需求量的密度函数根据题意知

所以由伽玛分布的可加性知 其密度函数为

其密度函数为

4． 设平面区域D 由曲线及直线所围成, 二维随机变量在区

域D 上服从均匀分布, 试求X 的边际密度函数.

【答案】因为区域D 的面积为（如图）

又因为（X , Y ）服从D 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

图

由此得, 当

时,

所以X 的边际密度函数为

若此题要求出Y 的边际密度, 则从图中可以看出: 当.

时, 有

当

时, 有

所以Y 的边际密度为

5． 设二维随机变量

【答案】

的非零区域与

的交集为图阴影部分, 所以

的联合密度函数为,

试求

图

6． 设二维离散随机变量（X , Y ）的可能取值为

（0, 0）, （-1, 1）, （-1, 2）, （1, 0）,

且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12, 试求X 与Y 各自的边际分布列. 【答案】由题设条件知, （X , Y ）的联合分布列为

表

1

在上面表格中按行相加, 得X 的边际分布列；按列相加, 得Y 的边际分布列:

表

2

表

3

7． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

这样的矩形称为黄金矩形（看

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为u ，试检验假设

（取

）

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，故拒绝域为