2017年北京工商大学数量经济学方法之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题
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2017年北京工商大学数量经济学方法之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（一） . .... 2 2017年北京工商大学数量经济学方法之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（二） . .... 6 2017年北京工商大学数量经济学方法之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（三） . .. 12
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一、计算题
1． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：
（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.
（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.
（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则
所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，这共有
种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在
种等可能的情况，若记
则
所以甲得全部赌本的
乙得全部赌本的
有实根的概率.
而K 〜U （l ，6），因此所求概率为
3． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.
（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出
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2． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程
【答案】方程
有实根的充要条件是
的是白球的概率；
（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.
【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得
（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得
4． 设随机变量X 的概率密度函数为
对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为
所以
5． 美国某高校根据毕业生返校情况记录, 宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元, 你对此有何评论？
【答案】毕业生返校记录是全体毕业生中的一个特殊群体（子总体）的一个样本, 它只能反映该子总体的特征, 不能反映全体毕业生的状况, 故此说法有骗人之嫌. 6 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果服从正态分布．
测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
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的数学期望.
表示，从而
. 记为
n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要
, 所以根据题意可列如下不等式
或
由此查表得
, 从中解得
, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a
的差异小于0.1.
7． 设X 和Y 为两个随机变量, 且
试求
【答案】因为
由此得
所以
8． 设
是来自
【答案】由于
所以
的值依赖于
它是的函数, 记为
其中值, 即
于是, 只
要
. 最小的常数为
就可保证对任意
的
有
表示N （0, 1）的密度函数, 由于
这说明
故
从而
为减函数, 并在
处取得最大于是,
其导函数为
的样本, 试确定最小的常数c , 使得对任意的
有
同理由
可得
再由
得
二、证明题
9． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
10．设分布函数列
【答案】对任意的
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
且
存在充分大的M , 使有
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弱收敛于分布函数和都是连续、严格单调函数,
又设
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
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