2018年南京邮电大学理学院814高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
则（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
则
=（ ）.
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设
阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（A.
B.
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）
D.
秩
或
故
【答案】B 【解析】
但当a=1时，
秩
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C. 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
时，
由
，用
使
则（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
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从而否定D , 故选B.
二、分析计算题
6． 设n 维欧氏空间的两个线性变换明:
都有【答案】由题设
任给. 则
, 令
在V
的基
下的矩阵分别是A 和B , 证.
则存在正定矩阵P , 使
同理
令基
的度量矩阵为，则
同理因故
考虑
的任意性，并结合
均为对称矩阵知
7． 设V 为数域K 上的n 维向量空间, 证明:对于任何大于行的自然数m , 一定存在由V 中的m 个向量组成的向量组, 使其中任何n 个向量都线性无关.
【答案】若都是线性无关的. 若
, 设是V 的基, 对于大于1的任何自然数m , 向量组
设
是V 的基, 则
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中每一个向量
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