2018年内蒙古民族大学数学学院806高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
秩
2． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】其中则PAQ=B
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A *的第1行与第2行得- B* 【答案】C
【解析】解法1:题设又
第 2 页，共 39 页
*
*
*
*
*
*
阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）
故
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
所以有
即题设
因此
即
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
第 3 页，共 39 页
右乘初等阵
所以
得
解法2
秩A , 则线性方程组（ ）.
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
阶方阵，且秩秩
则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶方阵. 证明：
【答案】设又因
反之，设
得：
于是必
7． 设
即
则
由定理可得，
故
这里
求的基础解系. 故
与
同解. 由
【答案】由
故
8． 求一个n 次方程使
【答案】
取基础解系为
第 4 页，共 39 页