2018年宁波大学理学院871高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 以
表示数域P 上的2阶矩阵的集合. 假设
为两两互异的数, 且它们的和
不等于零. 试证明
是P 上线性空间【答案】设即有
从而
因此, 只要能证明上述关于性无关, 从而能构成
下面计算行列式
的一组基.
的线性方程组只有零解, 则
.
就线
的一组基.
且有关系式,
在
中加一行, 加一列变为
又因为从而
为中y 的系数的相反数, 而由上式右边知y 的系数为
由
知, 构成
的一组基.
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从而上述线性方程组只有零解.
进而
2． 设. 整除，求
【答案】解法1直接用整除定义.
因为为4次，g 为2次，故商q 必为2次；又因f 与g 的首系数相同，常数项也相同，故商q 的首系数和常数项都必为1. 于是设
比较两端同次项系数，得
由此得
且
.
令
于是得因为
故应.
都整除
f.
解法3利用综合除法.
得
解法2利用普通除法并令余式等于零. 用g 去除f ，可得余式
且
令
解法4因为
解得
. 故
解得
3． 已知
4×4矩阵
（1）求A 的列向量组的一个极大线性无关组成A 的秩r ; （2）求一个且满足
在A 中有一个子式
令（2）令
矩阵F 及一个矩阵G , 使F 和G 的秩都等于，（其中r 是A 的秩），
【答案】（1）
则为A 的列向量组的一个极大线性无关组.
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则
4．
设A 为矩阵
AB 与
BA 的非零特征值
, 证明
AB 属于A
的特征子空间子空间
设则
所以
则有
同理
证法2只要证而
这里
所以
. （1）
令
, 则 所以
由
知
设秩
则可逆阵P , Q , 使
即
线性无关.
故
的维数相同.
的基, 则
故有
因此
若
为
【答案】证法1
令
与
BA 属于
的特征
且秩
而
（3）