当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

为数域K 上n 元行空间, 证明:

①存在子空间, 其每个非零向量的分量都不是0;

②若子空间W 的每个非零向量的分量都不是0, 则W 必是1维. 【答案】①例如, 取②在W 中任取由线性表示; 若即

, 则W 中却有向量

这与对W 的假设不合, 故必可由线性表示; 是W 的一基, W 是1维子空间.

2． 设元素

试证:（1）V 到

的映射

是一个同构映射； （2）对V 的每组基

有V 的惟一的一组基

（3）如果V 是复数域上n 维线性空间, 则有一组基

【答案】（1）由于f 是双线性的,

是V 上线性函数即

证是线性映射. 令

则

故

第 2 页，共 38 页

, 则显然其中每个

.

则对任意

就是这样的子空间.

当然可

且不能由线性表示, 则

与的对应分量不成比例, 例如, 设

是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数, 对V 中一个元素定义中一个

使

使

令

同样地

即有

取V 的一组基

故是V 到

的线性映射.

又是线性映射, 若再能证是双射, 它就是同构.

由于V 及都是n 维线性空间,

使f 的度量矩阵是对角阵

再由f 非退化, 皆不为零. 这组基在中的对应元为

于是

若有

则

由由于

故是满射. 又若于是

（2）对V 的一组基由是V 到

的同构, 令

是V 的基, 则当然有

的同构. 令

使得

即是它在

中的对偶基, 则

由于是同构及是V 的基.

（3）取V 的一组基

使f 的度量矩阵是对角矩阵

也

这就证明了是线性空间

即

这说明是单射, 因而是双射.

得

即

是线性无关的, 因而是

有

的基.

又f 在V 上非退化, 所有令

皆不为零. 由

第 3 页，共 38 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

则

这时恰好

3． 己知

3阶矩阵A 与3维向量X ，

使得向量

求

3阶矩阵B ,

使 可得

且

线性无关，

且满足

（1

）记（2）计算行列式【答案】

⑴由

令

则有

移项得

由己知，

线性无关，可得

所求三阶矩阵，（2）

4． 设

，

是数域P 上两个不全为零的多项式. 令

，使

不全为零，则

第 4 页，共 38 页

证明存在【答案】方法1，

. 存在. 且存在

使