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一、分析计算题

1． 设A ，B 是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则

（1）（2）

设

最小值和最大值分别为

的根全为实根. 的根为且

（1）

这里

因为

所以.

（2）记于是

类似可得

2． 已知3阶正交矩阵A 的行列式为1. 证明A 的特征多项式一定为

其中，a 是实数, 且

,

【答案】由于A 为3阶正交矩阵. 且设A 的特征值为

则有

从而

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求证:在约束条件下的

【答案】 （1）由B 正定，A 实对称，存在实可逆矩阵P , 使得

的根为故其根全为实根.

则约束条件

所以A 特征值的模为1, 且A 必有特征值1.

因此A 的特征多项式为

令可得

则a 为实数，且由

3． 设A 是反对称矩阵, 则

【答案】

是正交阵.

同样可证

4． R 是实数域，

【答案】取任一元R 上线性

相关.

于是有

，其中由但于是

进而

由

，易知

. 因此（复数域）正交阵, 且

. 又对任一证明:

，由

亦正交. 又

知

. 故

.

是一次的，

故不可能有

. 将

不全为零使分解成

.

令

为一次多项式，

, 必有某. 必有某

是二次不可约多项式.

或. 即有

.

使

，

则

上不可约多项式的乘积

，

故

是的扩域，且是R 上有限维（大于1）空间，则，但

. 由于K 是R 上有限维的，有充分大的n , 使

是正交矩阵. . （这说明三

在

维以上的超复数域是不存在的）.

5． 设A 、B 均为

【答案】由B 正交知, 推得

正交, 又正交矩阵的乘积仍是正交, 而A 正交, 所以

必有特征值-1. 从而

所以

. 故有

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6． 设

【答案】

求

.

二、证明题

7． 设

证明:

【答案】

8． 设P 为数域，如果

【答案】在上

不可约，且

为

上互异的首一不可约多项式，证明

，故

，

.

甶复数域上无重根.

由最大公因式与数域的扩张无关，故在C 上

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