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一、证明题

1． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

于是,

所以

则由

知道

． 设由行列式表示的函数

其中

的导数都存在，证明

【答案】记

由行列式定义知f 为元的可微函数且

于是由复合函数求导数法则知

记①右边行列式中的代数余子式为

，则

从而，

代入②，得

其中

是将元素

去掉后得的n －1阶行列式，它恰为行列式

中的代数余子式，于是由③知

①

②

2

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3．

证明:若

【答案】由

的构造, 知

则数列

且

收敛, 求其极限。

所以,

数列设以

之下，

故

5． 设正项级数

收敛, 和为S. 令

求证:当0

【答案】把区间[0, S]用分点

及函数

的单调递减性, 得

这意味着级数

的部分和有界, 从而此级数收敛, 且

分成无限个小区间. 在

上, 由

单调递减且有下界, 故其必收敛.

对

两边取极限, 得

解之

,

得

所

4． 设f （x ，y ）可微，证明:在坐标旋转变换

是一个形式不变量，

即若

则必有【答案】

（其中旋转角0是常数）

.

二、解答题

6． 应用比较原则判别下列级数的敛散性:

（1）（3）（5）（7）

（2） （4）

（6） （8）