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一、证明题

1． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故

2． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设

证明

.

与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,

即

.

|时,

有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知

为此, 将积分分为三段进行估计:

>

而

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, 因此, 欲证结论成立, 只需证

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综上可知, 原结论成立.

3． 证明下列数列极限存在并求其值:

（1）设（2）设（3）时成立,

则再证设解得

或递增,

在等式

因为

由数学归纳法知

.

因此两边取极限得, 由保不等式性可知

&

有上界2.

单调递增. 根据单调有界定理, 极限

即

存在.

有上界2. 当

时,

显然成立, 假设

【答案】（1）先用数学归纳法证数列

（2）首先证明数列是单调的.

所以数列再证明数列要满足两个条件:

①可猜想数列

有上界是递増的.

是有上界的. 先猜想

②

即, 当

, 再用数学归纳法来证明. 为此M

（M 为某个正整数）

由于

时, 显然

的根为

因此,

假设n=k时成立, 则n=k+l时,

即因为

有上界. 由单调有界定理知, 数列

解得因此

所以

的极限存在.

设

其中

时,

由

由迫敛性得 4． 设

, 指出f （x ）的所有间断点, 并讨论它们的类型.

.

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, 对

两边取极限得

（3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当

可知

因此

【答案】f （x ）可能的间断点为

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对x=0, 取,,

则当时, . , 但

故x=0为第二类间断点; 对

, 由于

所以

是连续点;

也是连续点;

.

是连续点, 否则为第一类间断点.

类似地讨论可知, 对

, 易知

由此可见

, 当k 是完全平方数时

, 类似可讨论

:的情形.

二、解答题

5． 求空间一点

到平面下的最小值问题.

由几何学知, 空间定点到平面的最短距离存在. 设

令

由①, ②, ③得

代入④解得

所以

故

第

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的最短距离.

在条件

【答案】

由题

意, 相当

于求