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一、证明题

1． 证明公式:

,

这里续函数.

【答案】设S 为球面

, 则有

考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有

在新坐标系O-uvw 中

,

.

, .

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

于是, 数列（2）因为

3． 证明定理 （有限覆盖定理）:

设个开域用直线

为一有界闭域

,

为一个开域族, 它覆盖了 D （即‘

）.

t 之中, 并假设D 不能被

中有限个开域所覆盖,

分成四个相等的闭矩形, 那么至少有一个闭矩形

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. , , f （t ）在时为连

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:

则dS=dudw, 从而

2． 证明定理: 数列

为无穷小数列.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列

收敛于a , 那么, 对任

意

为无穷小数列.

收敛于0, 即

是无穷小数列, 所以

）. 则在中必存在有限

它们同样覆盖了 D （即

把矩形

【答案】设有界闭域D 含在矩形它所含的D 的部分不能被

中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为

四个相等的闭矩形, 按照这种分法 继续下去,

可得一闭矩形套所含的D 的部分都不能为有D 的一点, 任取其中一点为

由闭矩形套定理可知:存在一点由于

所以

又因在由于

是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含

不妨设此开域为

使得

故n 充分大时, 恒有

可见, 矩形但是, 这与每个故

4．

若把定理中一致收敛函数列上的极限函数在[a, b]上也可积.

【答案】对[a, b]任作一分割T , 则f （x ）在上的振幅为

设特别地,

时成立.

存在

只要

就有

从而, 当

时, 有

所以, 对任意

. 存在N , 当n ≥N 时, 有

又f n （x ）在[a, b]上可积, 故对上述的

包含于邻域

中, 从而包含于开域中,

中所含的D 的部分不能被

和一个邻域

按定理条件,

.

中有限个开域所覆盖, 于是, 每个闭矩形

则

且

满足对任意的自然数N 都有:

其中每一个闭矩形

中都至少含

则必存在点

中有限个开域所覆盖矛盾,

中必有D 的有限开域覆盖.

的每一项在[a, b]上连续改为在[a, b]上可积, 试证

在[a, b]

故

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所以由可积第二充要条件知f （

x ）在[a, b]上可积.

二、解答题

5． 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温

:

表

（1）按积分平均

（2）

若按算术平均平均各有什么联系? 简述理由.

【答案】（1）用矩形法公式计算:

用梯形法公式计算:

用抛物线公式计算:

（

2）按矩形法计算有

（这里只考虑第一种情形）.

由此可见, 按算术平均

求平均值与矩形法积分平均是完全相同的. 而与梯形法不同. 求这一天的平均气温,

其中定积分值由三种近似法分别计算; 或

求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分

在梯形法中, 要用到13个函数值, 并且第一个和最后一个具有较小的权（它们的系数为, 而其余函数值的系数为1）.

6． 计算第二型曲面积分

其中S 是平行六面体

（h （z ）为S 上的连续函数.

【答案】设平行六面体在yz , zx , xy 平面上的投影区域分别为

, 则有

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g （y ））的表面并取外侧为正向, f （x ）、、