2017年南昌大学线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 在
中取两个基
试求坐标变换公式.
【答案】
记
：到基
:的过渡矩阵为
于
是
故得坐标变换公式为
即从
基
. 用矩阵的初等行变换求
于是所求坐标变换公式为
2． 函数集合在V 3中取一个基
的像，即可求得D 在上述基下的矩阵：
对于函数的线性运算构成3维线性空间.
求微分运算D 在这个基下的矩阵.
【答案】根据微分运算的规则，容易看出D 是中的一个线性变换，直接计算基向量在D 下
于是有
上式中等号右端的矩阵就是D 在上述基下的矩阵.
3． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
4． 利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
（2）
（3）
（4）【答案】⑴
（2）
（3）
（4）
5． 在R 中取两个基
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常
数. 6． 设
【答案】由
AB=A+2B, 求B.
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