2017年南昌大学线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． A 取何值时，非齐次线性方程组
⑴有惟一解；⑵无解；（3）有无穷多解？ 【答案】系数矩阵A 的行列式为
当当
时，即当时，增广矩阵成为
可见，当
时，
可见 2． 设
【答案】因
其中
故
于是
3． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得
知A 可逆，并且
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时，R （A ）=3, 方程组有惟一解；
于是方程组有无穷多解；
于是方程组无解.
求
因为当为
A 的特征值时，
阶方阵，
故
4． 求下列矩阵的逆阵：
（1）（2）（3）
是B 的特征值. 分别取
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
（4）
【答案】（1）由二阶方阵的求逆公式得
（2）
（3）因故A 可逆，并且
于是
（4）因
故i=1，2, …, n. 于是矩阵
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是有意义的，并且
因
由推论，知A 可逆，且
5． 设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根），
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量
方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
6． 设A 为n 阶矩阵，
证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
的特征值也相同.
7． 设3阶对称阵A 的特征值为
求A.
【答案】因A 对称，必有正交阵依次取为
的单位化向量，即
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
对应的特征向量依次为
使显然可
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