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一、计算题

1． 应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程. 分别以下列参数为广义坐标:（1）转角水平坐标x ; （3）铅垂坐标

y.

（2）

图

【答案】如图所示. （1）以

为广义坐标, 则可得:

代入拉格朗日方程运动微分方程为:

（2）以x 为广义坐标, 对约束方程即所以可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程得:

（3）以y 为广义坐标, 对约束方程

所以有

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得:

求导可得:

求导可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程得:

2． 为使货车车厢减速，在轨道上装有液压减速顶，如图1所示。半径为R 的车轮滚过时将压下减速顶的顶帽AB 而消耗能量，降低速度。如轮心的速度为，加速度为a ，试求AB 下降速度、加速度和减速顶对于轮子的相对滑动速度与角的关系（设轮与轨道之间无相对滑动）。

图1

【答案】（1）速度分析（缺少速度分析的图片） 轮子与轨道间无相对滑动，可得其速度瞬心为C ，则

以AB 杆的A 点为动点，以轮子为动系，绝对运动为直线运动，相对运动为圆周运动，牵连运动为平面运动。

由

可得

其中解得

（2）加速度分析，如图2所示。

图2

由

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可得

在OA 方向上的投影为

其中

解得

3． 如图1所示，钢管车间的钢管运转台架，依靠钢管自重缓慢元滑动地滚下，钢管直径为50mm 。设钢管与台架间的滚动摩阻系数

试确定台架的最小倾角应为多大？

图1

【答案】以平行于钢管向上方向为x 轴方向，垂直于钢管向上为y 轴方向建立直角坐标系。当钢管处于下滑的临界状态时，以钢管为研究对象，如图2所示。

图2

由平衡方程

滚动摩阻力偶矩解得则最小倾角

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