2016年广西民族大学理学院高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1. 设
【答案】
2.
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
3. 求心形线
【答案】
的全长。
, 由于, 故
在
,
即函数
, 即函数f (x )在
在
,
而
,
试问
,试按定义求
。
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
,
从而当
凸的, 当
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
4. 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。
【答案】由表中第3列,猜想1986年后任一年的世界人口是前一年人口的1 .018倍. 于是,在1986年后的第t 年,世界人口将是
20 10年对应f=24,于是
即推测2010年的世界人口约为76亿。
(百万)。
,
5. 求抛物线被圆所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
,
因此所求弧长为
【答案】联立两曲线方程
6. 计算下列各导数:
【答案】
二、证明题
7. 证明直线
与直线
平行.
【答案】已知直线的方向向量分别是
由
知两条直线互相平行.
8. 设f (x )、g (x )在区间[a, b]上均连续,证明:
(1)
(柯西—不等式); (2)
(闵可夫斯基不等式). 【答案】(1)对任意实数λ,有
左边是一个关于A 的二次多项式,它非负的条件是其判别式非正,即有
从而本题得证. (2)
从而本题得证。
,即
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